- このトピックには581件の返信、1人の参加者があり、最後に
により19年、 1ヶ月前に更新されました。
-
投稿
-
ん～本当にこのスレで良いのかと思いつつ、
eriko。さんのお誘いに乗って、科目試験スレから移動してきました。
マイナスの掛け算云々の事なんですが…中一の数学の時間のことでした。
マイナスの数との出会いは。。。
中学に入るとマイナスの数が登場してきますよね。足し算と引き算はマイナスの数が加わっても難なく理解できました。
5-7=-2
20-30=-10
-15+20=5こういうのです。
先生は温度計を例に説明してたような気がします。“20度のときに30度温度（目盛）が下がったら、マイナス10度だよね
こんなとき20-30=-10って表現できるよね…（略）”本当はマイナスの数が加わると、絶対値という概念を用いなければ
足し算でも引き算でも上手く説明しにくいはずですが（秋山仁『高校数学入門』NHKラジオテキスト １９９５年より）、
絶対値という概念を理解していなくても先生が温度計を例にしてくれた
お陰で、足し算と引き算に関してはマイナスの数が加わっても
直感的に理解することができました（たぶん）。しかし問題は掛け算でした。
（つづく）
（つづき）
先生:掛け算も、いま説明した足し算と引き算みたいに考えることができるんだ。
コンノ:（どういうことだろ。）
先生:5000×5=25000 だよね。
同様に、-5000×5=-25000 なんだ。コンノ:先生、なんでだか分かりませーん！！
先生:5000円のお小遣いを五回もらったら25000円になるだろう。
これを5000×5=25000 って考えることができるよね。なら、5000円の借金を五回して合計25000円の借金になるというのを
-5000×5=-25000 って表してもおかしくないだろう？
つまり借金をマイナスという印で表しているような感じかな？コンノ:（分かったような分からないような…）
先生:だから以上をまとめるて、例えば二つの数があるとき、
（プラスの数）×（プラス）=（プラス）
(マイナス）×（プラス）=（マイナス）
（プラス）×（マイナス）=（マイナス）
（マイナス）×（マイナス）=（プラス）ってなるんだ。
コンノ:でも先生、なんで
（マイナス）×（マイナス）=（プラス）
ってなるんですか。先生:（！！）
あっ！ほら、そうすれば答えがプラスになる組み合わせが、ちょうど二対二になって釣り合いがとれるだろ。コンノ:なんかわかりませーん。先生、また温度計や借金を例にするとか、他の例で説明してくださーい！！
先生:………
とにかくこうなんだから覚えなさい！みんな分かった！？オレ以外のみんな（？）:はーい！！
コンノ:？？？
（授業はつづく…）
とまあ、哲学の話題になるかどうか自信ないですが、こんなことがオレにはありました。
みなさんにはこういう経験ありませんか？
果たしてこの時のオレの疑問は正当だったのでしょうか、正当ではなかったのでしょうか？
話を進める前に皆さんの意見を聞いてみたいです。ちょっとハズしますが、似たようなことで、私は小学校1年生のとき、どうしても
1＋１＝２
っていうのが解らなかったため、成績はいつも０点でした。
今思えば10進法に対して「どうして？」となってしまったんですね。科学哲学、レポートかえって来ました。Ｂで合格でした
果たして、どのようなお叱りを受けるものかと期待（←笑）していたのですが、
きわめておだやかなコメントでした（でも内容はかなりキツい）
カミナリおやじのゲンコツではなく、上品な紳士から教えを受けた、って感じ。
科目試験も受けてきました。こちらは結果をもらったときに、また何か書きますね松です。
なんか呼ばれたような気がしたが、気のせいか？（笑）
眠いので、手短に…例えばＡさんとＢさんが何回かジャンケンをして、Ａさんが勝つと500円
Ｂさんからもらえ、Ａさんが負けると逆に500円払う、というゲームを考える。で、例えば３回戦をやって、Ａさんが３回勝って負けが０回、というときの
Ａさんが「もらえる」金額の総額を計算しよう（面倒なので、分配法則や結合法則､交換
法則は既知とする）。すると、500X3-500X0=500X（3-0）=500X3
一方、同じ事を「負けたら-500円もらえる」というように表現すると、
(-500)X0-(-500)X3=(-500)X(-3)=(-500)X(0-3)=(-500)X(-3)=(-1)X(-1)X(500X3)
ここで、上の二つは同じ事を見方を変えて表現しただけなので、互いに等しくなければ、
矛盾を生じてしまう。したがって無矛盾であるためには、500X3＝(-1)X(-1)X(500X3)
でなければならないから、（-1）X(-1)=1としなければならない。
基本的に「数学」というのは、一つの記号論理体系なのであって、公理と推論規則の組に
より、それぞれが「無矛盾」であるような体系を構築している。従がって、その体系の中
で無矛盾であれば、それがどのような公理ならびに推論規則から成立していようと無関係
である。ユークリッド幾何に対する非ユークリッド幾何の関係を思い出していただきたい。したがって、例えば（-1）X(-1)が1でないという公理を用いて無矛盾な体系を構築でき
れば、それは一つの数学体系となる。以上、おやすみなさい(^-^;;)
～松（♂５０期、文学部第３類）～
訂正
>>(-500)X0-(-500)X3=(-500)X(-3)=(-500)X(0-3)=(-500)X(-3)=(-1)X(-1)X(500X3)
(-500)X0-(-500)X3=(-500)X(0-3)=(-500)X(-3)=(-1)X(-1)X(500X3)
どうもだめなんだなー
＞一方、同じ事を「負けたら-500円もらえる」というように表現すると、
500円取られる、っていうなら解るけど。分数の割り算とかも理解できない。なんで分数を割るんかい？＞ここで、上の二つは同じ事を見方を変えて表現しただけなので、互いに等しくなければ、矛盾を生じてしまう。したがって無矛盾であるためには、500X3＝(-1)X(-1)X(500X3)でなければならないから、（-1）X(-1)=1としなければならない。
「こうだからこうだ。ゆえにこうならないためにはこうである必要がある」っていう論理展開、よく経済学のモデルでもやるけど、どうしてそうしなくちゃいけないのかが解らない。∴
この手の数学的な解釈は嫌いだし苦手である。以上（出勤します）あんまり暑いときは、数式をじーっとながめると、少しずつ、汗がひいてくる・・・
で、よーこちゃん、
ある日、よーこちゃんと私が仏語試験で合格したお祝いに、erikoさんが大きな焼き芋を1個くれました。
「ふたりで分けてね！」って。
1個の焼き芋をふたりで割ったら、２分の１と2分の１。
そこへhirokoさんがやってきて、
「あたしだって合格したんだから、焼き芋、ちょーだい」って言ったわけ。
ところが、よーこちゃんはすぐに食べちゃっていたので、仕方がないから、私の２分の1のをふたつに割ったの。
そしたら、私とhirokoちゃんの手には、最初の4分の1ずつの焼き芋が乗ってるじゃない？
・・・これが分数の割り算よ。わかったでしょ？
・・・・・・というふうに、昔、うちの娘に教えました。
・・・・・・・・・そうしたら、娘は高校1年で数学とは完全に縁を切りました。
抽象的な概念を具体的な事物に変換して考えようとするのは、限界があるようです。わたしもmizukokoさんの娘さんと同じく、高１で数学と離縁しました。
中学生の時、計算問題をやっていて本当にじんましんが出た事があります。
高校に入って初めて受けた数学のテストの最中に、全然分からなくて
これから３年間もこんなんをやるのかと思って泣き出した事もあります。決定的だったのは、「絶対値」の概念で躓いた時。
コンノさんのいう、マイナスの計算までは「そうなるんだからそうなんだ」で
何とか納得しましたが、それまで散々苦労してプラスとマイナスの計算を
やっていたのに「絶対値は正負に関らない０からの距離～」とかいわれた時に
もう「貴方にはついていけません」な気持ちになりました。こんにちは。
私は数学どころか算数もできないけど、
>したがって、例えば（-1）X(-1)が1でないという公理を用いて無矛盾な体系を構築でき
>れば、それは一つの数学体系となる。
これはとっても面白いと思いました。ちっともわかってないんだけど、
なんでだか心の琴線にふれて、ちょっと感動しました。（なんで感動したんだろう？ @_@;;）う～ん。だからね、おから大臣さんが履修した「科学哲学」やりたいのですよ、わたしも。
憧れの戸田山和久＠名古屋大科学哲学師匠に、いつかサインもらいに行くんだ～。うおっ！反応が以外にある。嬉しい。
松さん、
>なんか呼ばれたような気がしたが、気のせいか？（笑）
いいえ、気のせいではありません。さりげなく呼びました。（笑）本題の前に…
>おから大臣さん
科学哲学、さくっとレポ提出、さくっと合格っすかー。
その素早い行動、羨ますぃ。オレまだ履修もしてないけど、オレの場合
“経験論”とか“実在論”っていう言葉に躓いちゃいそう。で、本題。
mizukokoさんの仰る通り結局、
>抽象的な概念を具体的な事物に変換して考えようとするのは、
>限界があるようです。そうなんですよね。でも小学校での“算数”は、抽象的な概念を具体的な
事物に変換してみることによって、理解しようとするじゃないですか。
ところが、中学からは“数学”です。
そこにオレの“？？？”があったんじゃないかと今では思えます。
popoさんの
>高校に入って初めて受けた数学のテストの最中に、全然分からなくて
>これから３年間もこんなんをやるのかと思って泣き出した事もあります。泣きまではしませんでしたが、
おれも「そうなるからそうなんだ」式には、中高生時代ずーっとウンザリ
ウンザリして萎え萎えでした。
（というか、オレの場合勉強全般でしたが…）。
「そうなるからそうなんだ」式って、要は教えられるものを「信じる」って
事じゃないですか。結局のところ知識全般の根底には何らかの「信念」
があり知識はそれに支えられているにしても、
「そうなるからそうなんだ」式は生徒に対して先生は「信じる」ことの
選択を与えない（与えることが出来ない）ように思われます。
それって学問というより学習。
学習は人生・生活全般に必要だし、学習したことが基礎にあって初めて
学問できると思うけど、中一のオレにはそんな区別、思いもつかな
かった。（この区別が正当なのかは分かりませんが）かなり脱線しましたが、、、
たしたり、ひいたり、同じ対象をたす（ひく）ことを反復する（掛け算のこと）
っていう日常的な簡単な計算って、具体的な事物を抽象的に考えること
のようにオレには思われます。こうしたことから抽象的な思考は具体的な
事物の存在によって可能になっていると思われます。なら、
>基本的に「数学」というのは、一つの記号論理体系なのであって、
>公理と推論規則の組により、それぞれが「無矛盾」であるような体系を
>構築している。従がって、その体系の中で無矛盾であれば、
>それがどのような公理ならびに推論規則から成立していようと無関係
>である。というような“数学”って何だ？
つまり、数学が具体的な事物から切り離された
「記号論理体系」だとすると、オレが前述した
「抽象的な思考は具体的な
事物の存在によって可能になっていると思われます」
ということと矛盾しませんか？オレには謎です。
“抽象的な思考（対象）”と“具象的な事物”との関係が。また、この謎が謎でなく愚問であるならば、何故でしょうか？
愚問でない問いと愚問の違いは何処にあるのでしょうか？こうした事柄を考えるのが哲学だとオレは思うのですが…
（あーーー言っちゃたよ。。。）どうですか、皆さん。
蛇足ながら…
>よーこさん、
おれも似たような経験が…
確か小学校に入る前くらいに感じた疑問。足し算・引き算は出来ないが、ようやく20くらいは数がかぞえられるように
なったある日のこと、
両手の人差し指を一本ずつ突き出して母は唐突にオレに問いかけた。“１たす１はいくつ？”
オレは１１と答えた。突き出した両手の人差し指が接近して
１１のように見えたから。“違うのよ。２よ。”
オレ：？？？
“足し算”の意味も“数”の意味も理解してなかったから、
“？？？”になるのも当然なのだが。>ピカ子さん
私は数学どころか算数もできないけど、
>したがって、例えば（-1）X(-1)が1でないという公理を用いて無矛盾な体系を構築でき
>れば、それは一つの数学体系となる。
これはとっても面白いと思いました。ちっともわかってないんだけど、
なんでだか心の琴線にふれて、ちょっと感動しました。（なんで感動したんだろう？ @_@;;）オレも前にそれに近い感覚ありました。
雑学本で、
>ユークリッド幾何に対する非ユークリッド幾何の関係
についての記述を初めて読んだときなんですが。
同じくオレもその時のキモチを上手く表現できないですが。ああ、アタシこのスレのテーマが苦手なのによこささり。
「あたしだって合格したんだから、焼き芋、ちょーだい」って自分がホントにいいそうで
わらちゃった。mizukokoさんの説明はわかりやすかった。
それって半分にしていけば、永遠になくならないチョコレートの命題ですよね。
byマリリン・バーンズ『考える練習をしよう』（晶文社）
私この本で永遠に半分にしていけばなくならないんだあと感動したことが。
あ、話が脱線。急いで逃げます。正負の数を扱うには、絶対値の概念を導入する必要ありと
どなたかおっしゃってましたよね。
同じことなんでしょうけど、私の場合、そういうことを知る前には、
単純に距離として考えていたと思います。
あと、負の数が登場するかけ算割り算に関しては、
×と÷に加えて、正負の符号にも動作が含まれているというふうに
考えていました。
自分としては画像を駆使して筋道が通っていることなので、
お子さまアタマに説明の付く方法の例として、ご紹介します。
文章でうまく説明できるか自信がないですが、、、。まず、例えば、負の距離を前進するということは、実際の現象としては
正の距離を後退することになりますよね。でもこれを敢えてひっくり返さず、
「負の距離前進」のまま扱います。
ということは、この時点で、一本の直線によって正負の象限に分けられた
座標平面を想定していたということになると思います。この平面上に「負の距離Ｄ前進」をおいてみると、
境界線から負の側に垂直に伸びた、長さＤの直線として表すことができます。
ここで、たぶん「ある距離を前進する」と主に考えていたからだと思うのですが
この直線は矢印になっていました。今思うと、これがポイントかも。そして、かけ算であれば、「前進」なら前進を「する」動作と「しない」操作を
何回繰り返すかと考えていたんですね。
「する」動作ならば矢印はその向かう方向に伸びていっていい。
反対に、「しない」動作ならば、矢印の方向と反対の、
本来は行きたくない方向に向かわなくてはいけない。なので、この場合、
最初におかれた矢印は、境界線を軸にして起きあがり、
ぱたんと反対の象限に倒れ込むのです。
何回分、というのは単純に距離が増えればいいので、普通のかけ算同様に
矢印が伸びます。
割り算も、だいたい同じにできます。モデルを作るとすぐ分かってもらえるんだけどなぁ。
（友達には何回か作りました）「そういうものだから覚えなさい」というのがキライな私は、
もっと大きくなってからも公式等の丸暗記はしたことがありません。
大学入試レベルまでの数学ならば、全て座標空間におとして説明が可能だと
思っていたこともあります。
数学は本来、矛盾がなければどう考えてもいいっていう、
自由な世界だと思います。
私なんて、できもしないのに、美しい世界だと思っています。
なのに、こんなにキライという人が多いってことは、定理や公式の暗記を
強いる現在の学校教育に問題があるのではないでしょうか
（っていつもここに帰結しちゃうんだけど）。
少なくとも私たちが教養？として学ぶ程度の数学の問題には、
正答とされる解以外にも、考え方は何通りもあるはずだし、
最初は数学として美しくなくても、自分で矛盾がないように考えを
積み重ねる練習をするのが数学のおもしろさだと思うんですけどね。
- このトピックに返信するにはログインが必要です。